С помощью калькуляторов найти кубический корень из любого числа можно с помощью кнопок. Но, возможно, у вас нет калькулятора или вы хотите поразить своих друзей умением вычислять кубический корень вручную. Есть процесс, который поначалу кажется немного трудоемким, но с практикой все получается довольно легко. Будет полезно, если вы вспомните некоторые базовые математические навыки и немного алгебры о кубических числах.
Содержание
Решение примерной задачи о кубическом корне
1. Поставьте задачу. Решение задачи о кубическом корне числа похоже на решение задачи о длинном делении, но с некоторыми отличиями. Для начала нужно составить задачу в правильном формате.
- Запишите число, кубический корень которого вы хотите найти. Запишите цифры группами по три, используя десятичную точку в качестве отправной точки. В этом примере вы будете находить кубический корень из 10. Запишите это как 10. 000 000. Дополнительные 0 нужны для точности решения.
- Нарисуйте над числом знак радикала кубического корня. Это служит той же цели, что и штриховая линия длинного деления. Единственное отличие — форма символа.
- Поставьте десятичную точку над штриховой линией, прямо над десятичной точкой в исходном числе.
2. Знайте кубы однозначных чисел. Вы будете использовать их при вычислениях. Эти кубы выглядят следующим образом:
3. Найдите первую цифру вашего решения. Выберите число, которое при возведении в куб дает наибольший возможный результат, меньший, чем первый набор из трех чисел.
- В этом примере первый набор из трех чисел — 10. Найдите наибольший идеальный куб, который меньше 10. Это число равно 8, а его кубический корень равен 2.
- Напишите число 2 над радикальной линейкой, над числом 10. Напишите значение которое равно 8, под числом 10, проведите линию и вычтите, как при длинном делении. В результате получится 2.
- После вычитания у вас есть первая цифра решения. Вам нужно решить, является ли эта цифра достаточно точным результатом. В большинстве случаев это не так. Вы можете проверить, возведя единственную цифру в куб, и решить, достаточно ли это близко к желаемому результату. Здесь, поскольку это всего лишь 8, а не очень близко к 10, вы должны продолжить.
4. Настройтесь на поиск следующей цифры. Скопируйте следующую группу из трех чисел в остаток и проведите небольшую вертикальную линию слева от получившегося числа. Это будет базовое число для нахождения следующей цифры в решении вашего кубического корня. В данном примере это должно быть число 2000, которое образуется из остатка 2 от предыдущего вычитания с группой из трех 0, которые вы тянете вниз.
- Слева от вертикальной линии вы будете решать следующий делитель как сумму трех отдельных чисел. Нарисуйте места для этих чисел, сделав три пустых подчеркивания со знаками плюс между ними.
5. Найдите начало следующего делителя. Для первой части делителя запишите триста раз квадрат того числа, которое находится сверху от знака радикала. В данном случае число сверху — 2, 2^2 — это 4, а 4*300=1200. Поэтому запишите 1200 на первом месте. Делитель на этом шаге решения будет равен 1200, плюс что-то, что вы найдете дальше.
6. Найдите следующее число в решении кубического корня. Найдите следующую цифру решения, выбрав то, что можно умножить на делитель, 1200 с чем-то, чтобы затем вычесть из остатка 2000. Это может быть только 1, так как 2 умножить на 1200 будет 2400, что больше 2000. Запишите число 1 на следующем месте над знаком радикала.
7. Определите остаток делителя. Делитель для этого шага решения состоит из трех частей. Первая часть — это 1200, которые у вас уже есть. Чтобы получить делитель, нужно добавить к нему еще два члена.
- Теперь вычислите 3 умножить на 10 каждую из двух цифр, которые находятся в вашем решении над знаком радикала. Для данного примера это означает 3*10*2*1, что равно 60. Добавьте это к 1200, которые у вас уже есть, чтобы получить 1260.
- Наконец, добавьте квадрат последней цифры. В данном примере это 1, а 1^2 — это все еще 1. Таким образом, общий делитель равен 1200+60+1, или 1261. Запишите это слева от вертикальной линии.
8. Умножение и вычитание. Завершите этот этап решения, умножив последнюю цифру вашего решения — в данном случае число 1 — на только что вычисленный делитель 1261. 1*1261 =1261. Запишите это число под цифрой 2000 и вычтите, чтобы получить 739.
9. Решите, стоит ли продолжать работу для повышения точности. После того как вы выполните часть вычитания на каждом шаге, вам нужно подумать, достаточно ли точен ваш ответ. Для кубического корня из 10 после первого вычитания ваш кубический корень составлял всего 2, что не очень точно. Теперь, после второго раунда, решение равно 2,1.
- Вы можете проверить точность этого результата, возведя в куб 2,1*2,1*2,1. Результат равен 9,261.
- Если вы считаете, что ваш результат достаточно точен, можете выходить из игры. Если же вы хотите получить более точный ответ, то вам нужно перейти к другому раунду.
10. Найдите делитель для следующего раунда. В этом случае, чтобы попрактиковаться и получить более точный ответ, повторите шаги для другого раунда следующим образом:
- Опустите следующую группу из трех цифр. В данном случае это три 0, которые последуют за остатком 739 и дадут 739 000.
- Начните делитель с 300-кратного квадрата числа, находящегося над радикальной линией. Это , что составляет 132 300.
- Выберите следующую цифру решения так, чтобы ее можно было умножить на 132 300 и получить остаток меньше, чем 739 000. Хорошим выбором будет 5, так как 5*132 300=661 500. Запишите цифру 5 в следующем месте над радикальной чертой.
- Найдите 3, умноженное на предыдущее число над радикальной линией, 21, умноженное на последнюю цифру, которую вы только что написали, 5, умноженное на 10. Это дает .
- Наконец, возведите в квадрат последнюю цифру. Это
- Сложите части делителя, чтобы получить 132 300+3 150+25=135 475.
11. Умножьте делитель на число решения. После того как вы вычислили делитель для следующего раунда и расширили свое решение еще на одну цифру, действуйте следующим образом:
- Умножьте делитель на последнюю цифру вашего решения. 135475*5=677,375.
- Вычтите. 739,000-677,375=61,625.
- Подумайте, достаточно ли точным является решение 2,15. Возведите его в куб, чтобы получить .
12. Запишите свой окончательный ответ. Результат над радикалом — это кубический корень, точный до трех значащих цифр. В данном примере кубический корень из 10 равен 2,15. Убедитесь в этом, вычислив 2,15^3=9,94, что приближенно равно 10. Если вам нужна большая точность, просто продолжайте процесс столько, сколько захотите.
Нахождение корней куба методом повторных оценок
1. Используйте кубические числа, чтобы установить верхние и нижние границы. Если вас просят найти кубический корень практически из любого числа, начните с выбора идеального куба, который будет как можно ближе, не превышая заданного числа.
- Например, если вы хотите найти кубический корень из 600, вспомните (или воспользуйтесь таблицей кубических чисел), что и. Поэтому решение для кубического корня из 600 должно быть чем-то между 8 и 9. В качестве верхней и нижней границ решения вы будете использовать числа 512 и 729.
2. Оцените следующую цифру. Первая цифра была получена из ваших знаний о некоторых кубических числах. Для следующей цифры определите число от 0 до 9, исходя из того, куда попадает ваше целевое число между двумя граничными числами.
- В рабочем примере целевое число 600 находится примерно на полпути между граничными числами 512 и 729. Поэтому выберите 5 в качестве следующей цифры.
3. Проверьте свою оценку, возведя ее в куб. Попробуйте умножить оценку, с которой вы сейчас работаете, чтобы узнать, насколько близко вы подошли к целевому числу.
- В этом примере умножьте
4. При необходимости скорректируйте свою оценку. После того как вы перемножили последнюю оценку, проверьте, насколько результат совпадает с целевым числом. Если результат больше целевого, вам нужно уменьшить расчетное число на единицу или больше. Если результат ниже целевого значения, вам, возможно, придется корректировать его в сторону увеличения, пока вы не превысите целевое значение.
- Например, в этой задаче, больше, чем целевое значение 600. Поэтому вам следует уменьшить оценку до 8,4. Возведите это число в куб и сравните с целевым показателем. Вы обнаружите, что . Теперь это меньше, чем ваша цель. Таким образом, вы знаете, что кубический корень из 600 должен быть не меньше 8,4, но меньше 8,5.
5. Оцените следующую цифру для большей точности. Вы будете продолжать этот процесс оценки цифр от 0 до 9, пока ваш ответ не станет настолько точным, насколько вы хотите. Для каждого раунда оценивания начните с того, что отметьте, как ваш последний расчет попадает между граничными числами.
- В этом рабочем примере последний цикл вычислений показал, что а . Цель 600 немного ближе к 592, чем к 614. Поэтому для следующего угадывания начните с выбора числа, находящегося чуть меньше, чем на полпути между 0 и 9. Хорошим вариантом будет 4, а оценка кубического корня составит 8,44.
6. Продолжайте проверять свою оценку и корректировать ее. Сколько угодно раз переводите оценку в куб и смотрите, как она соотносится с вашей целью. Вы хотите найти числа, которые находятся чуть ниже и чуть выше целевого числа.
- Для этого рабочего примера начните с определения того, что . Это чуть выше цели, поэтому опуститесь ниже и проверьте 8.43. Это даст вам . Таким образом, вы знаете, что кубический корень из 600 больше 8,43 и меньше 8,44.
7. Продолжайте до тех пор, пока не добьетесь точности. Продолжайте оценивать, сравнивать и переоценивать столько, сколько необходимо, пока ваше решение не станет настолько точным, насколько вы хотите. Обратите внимание, что с каждым десятичным знаком ваши целевые числа будут все ближе и ближе к реальному числу.
- В примере с кубическим корнем из 600, когда вы использовали два знака после запятой, 8,43, вы были далеки от цели менее чем на 1. Если вы продолжите до третьего знака после запятой, вы обнаружите, что что меньше 0,1 от истинного ответа.
Понимание того, как работает это вычисление
1. Рассмотрите биномиальное разложение. Чтобы понять, почему этот алгоритм работает для нахождения кубических корней, вам нужно сначала вспомнить, как выглядит кубическое разложение бинома. Вы, вероятно, изучали это на уроках алгебры или алгебры II в средней школе (и, если вы похожи на большинство людей, вероятно, вскоре забыли это). Выберите две переменные и для представления одноразрядных чисел. Затем создайте бином чтобы представить двузначное число.
- Использование термина создает двузначное число. Какую бы цифру вы ни выбрали для , вы поместите эту цифру в колонку десятков. Например, если это 2, а 6, то станет 26.
2. Разложите бином в куб. Мы работаем в обратном направлении, сначала создаем куб, чтобы потом понять, почему решение для кубических корней работает. Нам нужно найти значение . Для этого нужно умножить . Это слишком длинный процесс, чтобы показать его прямо здесь, но конечный результат таков .
- Подробнее о расширении бинома, чтобы получить этот результат, вы можете прочитать в статье Умножение биномов. Для более продвинутой, короткой версии читайте Вычислить (x+y)^n с помощью треугольника Паскаля.
3. Узнайте смысл алгоритма длинного деления. Обратите внимание, что метод вычисления кубического корня работает как длинное деление. При длинном делении вы находите два множителя, которые умножаются вместе, чтобы получить произведение числа, с которого вы начинаете. В данном случае число, для которого вы решаете задачу (число, стоящее над знаком радикала), является кубическим корнем. Это означает, что оно представляет собой член (10A+B). Фактические A и B пока не имеют значения, главное, чтобы вы осознали связь с ответом.
4. Рассмотрите расширенную версию. Когда вы посмотрите на расширенный многочлен, вы увидите, почему алгоритм кубического корня работает. Осознайте, что делитель каждого шага алгоритма — это сумма четырех членов, которые вам нужно вычислить и сложить вместе. Эти члены получаются следующим образом:
- Первый член содержит кратное 1000. Сначала нужно найти число, которое можно возвести в куб и остаться в пределах диапазона для длинного деления по первой цифре. Это дает термин 1000A^3 в биномиальном разложении.
- Второй член биномиального разложения имеет коэффициент 300. (На самом деле это происходит от .) Вспомните, что при вычислении кубического корня первая цифра на каждом шаге умножается на 300.
- Вторая цифра на каждом шаге вычисления кубического корня получается из третьего члена биномиального разложения. В биномиальном разложении вы можете увидеть член 30AB^2.
- Последняя цифра каждого шага — это член B^3.
5. Посмотрите, как растет точность. Когда вы выполняете алгоритм длинного деления, каждый выполненный шаг обеспечивает большую точность ответа. Например, в примере задачи, рассмотренном в этой статье, нужно найти кубический корень из 10. На первом шаге решение равно 2, потому что близко, но меньше 10. На самом деле, . После второго раунда вы получаете решение 2,1. Когда вы вычислите это, что гораздо ближе к искомому значению 10. После третьего раунда вы получаете 2,15, что дает . Вы можете продолжать работать с группами из трех цифр, чтобы получить настолько точный ответ, насколько вам нужно.
Калькулятор, практические задачи и ответы
