Куб — это трехмерная фигура, имеющая равные размеры по ширине, высоте и длине. Куб имеет шесть квадратных граней, все стороны которых имеют одинаковую длину и пересекаются под прямым углом.[1] Найти объем куба очень просто — обычно достаточно перемножить длину куба × ширину × высоту. Поскольку все стороны куба имеют одинаковую длину, объем куба можно представить в виде s3, где s — длина одной из сторон куба. Подробное описание этих процессов см. в шаге 1 ниже.
Содержание
Помощь в определении объема куба
Кубирование одной из сторон куба
1. Найдите длину одной из сторон куба. Часто в задачах, где требуется найти объем куба, вам дается длина одной из его сторон. Если у вас есть эта информация, у вас есть все необходимое для решения задачи об объеме куба. Если вы решаете не абстрактную математическую задачу, а пытаетесь найти объем реального объекта, имеющего форму куба, используйте линейку или рулетку для измерения стороны куба.
- Чтобы лучше понять процесс нахождения объема куба, давайте рассмотрим пример задачи, выполняя шаги, описанные в этом разделе. Допустим, длина стороны куба составляет 2 дюйма (5,08 см). Мы используем эту информацию, чтобы найти объем куба на следующем этапе.
2. Найдите длину стороны куба. Когда вы нашли длину одной из сторон куба, возведите это число в куб. Другими словами, умножьте его на себя дважды. Если s — длина стороны, то умножьте s × s × s (или, в упрощенном виде, s ). Это даст вам объем вашего куба!
- По сути, это то же самое, что найти площадь основания, а затем умножить ее на высоту куба (или, другими словами, длина × ширина × высота), поскольку площадь основания находится путем умножения его длины и ширины. Поскольку длина, ширина и высота куба равны, мы можем сократить этот процесс, просто перемножив любое из этих измерений.
- Давайте продолжим наш пример. Поскольку длина стороны нашего куба равна 2 дюймам, мы можем найти объем, умножив 2 x 2 x 2 (или 2) = 8.
3. Обозначьте свой ответ кубическими единицами. Поскольку объем — это мера трехмерного пространства, ваш ответ по определению должен быть в кубических единицах. Часто в школьных заданиях по математике пренебрежение обозначением правильных единиц может привести к потере баллов за решение задачи, поэтому не забывайте использовать правильные обозначения!
- В нашем примере, поскольку исходное измерение было произведено в дюймах, наш окончательный ответ будет обозначен единицами «кубические дюймы» (или in). Таким образом, наш ответ 8 станет 8 in .
- Если бы мы использовали другую начальную единицу измерения, наши конечные кубические единицы были бы другими. Например, если бы у нашего куба были стороны длиной 2 метра, а не 2 дюйма, мы бы обозначили его кубическими метрами (м).
Нахождение объема по площади поверхности
1. Найдите площадь поверхности вашего куба. Хотя самый простой способ найти объем куба — это найти длину одной из его сторон, это не единственный способ. Длина стороны куба или площадь одной из его граней могут быть получены из нескольких других свойств куба, а это значит, что если вы начнете с одной из этих частей информации, то сможете найти объем куба окольным путем. Например, если вам известна площадь поверхности куба, то для нахождения его объема достаточно разделить площадь поверхности на 6, а затем взять квадратный корень из этого значения, чтобы найти длину сторон куба. Дальше вам нужно будет только перевести длину стороны в куб, чтобы найти объем, как обычно. В этом разделе мы рассмотрим этот процесс шаг за шагом.
- Площадь поверхности куба определяется по формуле 6 s , где s — длина одной из сторон куба. По сути, эта формула — то же самое, что найти двумерную площадь шести граней куба и сложить эти значения вместе. Мы будем использовать эту формулу, чтобы найти объем куба по площади его поверхности.
- В качестве примера, допустим, у нас есть куб, площадь поверхности которого, как мы знаем, равна 50 см, но мы не знаем длины его сторон. В следующих шагах мы воспользуемся этой информацией, чтобы найти объем куба.
2. Разделите площадь поверхности куба на 6. Поскольку у куба 6 граней одинаковой площади, разделив площадь поверхности куба на 6, вы получите площадь одной из его граней. Эта площадь равна длине двух его сторон, умноженной (l × w, w × h или h × l).
- В нашем примере деление 50/6 = 8,33 см. Не забывайте, что двумерные ответы имеют единицы измерения площади (см, дюйм и так далее).
3. Возьмите квадратный корень из этого значения. Поскольку площадь одной из граней куба равна s ( s × s ), взяв квадратный корень из этого значения, вы найдете длину одной из сторон куба. Как только вы получите это значение, у вас будет достаточно информации, чтобы решить задачу об объеме куба обычным способом.
- В нашем примере √8,33 — это примерно 2,89 см.
4. Возведите это значение в куб, чтобы найти объем куба. Теперь, когда вы получили значение длины стороны куба, просто перемножьте это значение (умножьте его на себя дважды), чтобы найти объем куба, как описано в разделе выше. Поздравляем — вы нашли объем куба по площади его поверхности.
- В нашем примере 2,89 × 2,89 × 2,89 = 24,14 см. Не забудьте обозначить свой ответ кубическими единицами.
Нахождение объема по диагоналям
1. Разделите диагональ, проходящую через одну из граней куба, на √2, чтобы найти длину стороны куба. По определению, диагональ идеального квадрата равна √2 × длину одной из его сторон. Таким образом, если единственной информацией о кубе является длина диагонали одной из его граней, вы можете найти длину стороны куба, разделив это значение на √2. Отсюда довольно просто сложить кубики и найти объем куба, как описано выше.
- Например, допустим, что одна из граней куба имеет диагональ длиной 7 футов. Мы найдем длину стороны куба, разделив 7/√2 = 4,96 фута. Теперь, когда мы знаем длину стороны, мы можем найти объем куба, умножив 4,96 = 122,36 фута.
- Обратите внимание, что в общем случае d = 2 s, где d — длина диагонали одной из граней куба, а s — длина одной из сторон куба. Это объясняется тем, что, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы правильного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон. Таким образом, поскольку диагональ грани куба и две стороны этой грани образуют правильный треугольник, d = s + s = 2 s .
2. Возведите в квадрат диагонали двух противоположных углов куба, затем разделите на 3 и извлеките квадратный корень, чтобы найти длину стороны. Если единственная информация о кубе — это длина отрезка трехмерной прямой, протянувшегося по диагонали из одного угла куба в противоположный ему угол, все равно можно найти объем куба. Поскольку d образует одну из сторон правильного треугольника, гипотенузой которого является диагональ между двумя противоположными углами куба, мы можем сказать, что D = 3 s , где D = трехмерная диагональ между противоположными углами куба.
- Это следует из теоремы Пифагора. D, d и s образуют правильный треугольник с D в качестве гипотенузы, поэтому можно сказать, что D = d + s. Поскольку выше мы вычислили, что d = 2 s, можно сказать, что D = 2 s + s = 3 s.
- В качестве примера, допустим, мы знаем, что диагональ от одного из углов в основании куба до противоположного угла в «вершине» куба равна 10 м. Если мы хотим найти объем, мы подставим 10 для каждого «D» в уравнение выше следующим образом:
- D = 3 с .
- 10 = 3 s .
- 100 = 3 s
- 33.33 = s
- 5,77 м = с. Отсюда, чтобы найти объем куба, нужно всего лишь возвести в куб длину его стороны.
- 5.77 = 192.45 m
