Затрудняетесь с решением сложной задачи по алгебре? Нахождение обратной матрицы — это ключ к решению систем линейных уравнений. Кроме того, обратные операции позволяют упростить сложные задачи в целом. Например, если в задаче требуется разделить на дробь, проще умножить на ее обратную величину. Это базовая обратная операция! Аналогично, поскольку для матриц не существует оператора деления, вам нужно умножать на обратную матрицу. Мы составили пошаговое руководство по вычислению обратной матрицы 3×3 вручную, используя определители и линейное сокращение строк. Затем мы даже научим вас находить обратную матрицу с помощью продвинутого графического калькулятора.
Содержание
Создание сопряженной матрицы для нахождения обратной матрицы
1. Проверьте определитель матрицы. В качестве начального шага вам необходимо вычислить определитель матрицы. Если определитель равен 0, то ваша работа закончена, так как матрица не имеет обратной стороны. Символически определитель матрицы M можно представить в виде det(M).
- Для матрицы 3×3 найдите определитель, сначала
2. Транспонируйте исходную матрицу. Транспонировать — значит отразить матрицу относительно главной диагонали, или, что эквивалентно, поменять местами (i,j)-й элемент и (j,i)-й. Когда вы транспонируете члены матрицы, вы должны увидеть, что главная диагональ (слева вверху — справа внизу) не изменилась.
- Другой способ транспонирования заключается в том, что вы переписываете первую строку в первый столбец, среднюю строку в средний столбец, а третью строку в третий столбец. Обратите внимание на цветные элементы на диаграмме выше и посмотрите, где числа поменяли свое положение.
3. Найдите определитель каждой из минорных матриц 2×2. Каждый элемент новой транспонированной матрицы 3×3 связан с соответствующей минорной матрицей 2×2. Чтобы найти подходящую минорную матрицу для каждого члена, сначала выделите строку и столбец того члена, с которого вы начинаете. Это должно включать пять терминов матрицы. Оставшиеся четыре члена составляют минорную матрицу.
- В примере, показанном выше, если вам нужна минорная матрица термина во второй строке и первом столбце, вы выделяете пять терминов, которые находятся во второй строке и первом столбце. Оставшиеся четыре термина — это соответствующие минорные матрицы.
- Найдите определитель каждой минорной матрицы путем перекрестного умножения диагоналей и вычитания, как показано на рисунке.
- Подробнее о минорных матрицах и их использовании см. Понимание основ матриц.
4. Создайте матрицу кофакторов. Поместите результаты предыдущего шага в новую матрицу кофакторов, выровняв каждый минорный определитель матрицы с соответствующей позицией в исходной матрице. Так, определитель, который вы вычислили из элемента (1,1) исходной матрицы, попадает в позицию (1,1). Затем необходимо поменять знаки чередующихся членов новой матрицы, следуя схеме «шашечки».
- При распределении знаков первый элемент первой строки сохраняет свой первоначальный знак. Второй элемент меняет знак на противоположный. Третий элемент сохраняет свой первоначальный знак. Продолжайте работу с остальными элементами матрицы таким же образом. Обратите внимание, что знаки (+) или (-) на шахматной диаграмме не означают, что последний член должен быть положительным или отрицательным. Они указывают на сохранение (+) или изменение (-) первоначального знака числа.
- Конечный результат этого шага называется смежной матрицей оригинала. Иногда ее называют матрицей смежности. Сопряженная матрица обозначается как Adj(M).
5. Разделите каждый член сопряженной матрицы на детерминант. Вспомните определитель M, который вы вычислили на первом шаге (чтобы проверить, что обратное возможно). Теперь вы делите каждый член матрицы на это значение. Результат каждого вычисления поместите на место исходного члена. В результате получится обратная матрица.
- Для матрицы, показанной на рисунке, определитель равен 1. Поэтому при делении каждого члена сопряженной матрицы получается сама сопряженная матрица. (Вам не всегда будет так везти.)
- Вместо деления некоторые источники представляют этот шаг как умножение каждого члена M на 1/det(M). Математически это эквивалентно.
Использование сокращения линейных рядов для нахождения обратной матрицы
1. Присоединение матрицы тождества к исходной матрице матрице. Выпишите исходную матрицу M, проведите вертикальную линию справа от нее, а затем напишите матрицу тождества справа от нее. Теперь у вас должна получиться матрица с тремя строками по шесть столбцов в каждой.
- Напомним, что матрица тождеств — это специальная матрица, в которой 1 стоит в каждой позиции главной диагонали слева вверху и справа внизу, а 0 — во всех остальных позициях.
2. Выполните операции линейного сокращения строк. Ваша цель — создать матрицу тождества в левой части новой дополненной матрицы. Выполняя операции сокращения строк в левой части, вы должны последовательно выполнять те же операции в правой части, которая стала матрицей тождества.
- Помните, что сокращение строк выполняется как комбинация скалярного умножения и сложения или вычитания строк, чтобы изолировать отдельные члены матрицы. Для более полного обзора см. Матрицы с сокращением строк.
3. Продолжайте, пока не сформируете матрицу тождества. Продолжайте повторять операции линейного сокращения строк до тех пор, пока левая часть вашей дополненной матрицы не будет представлять собой матрицу тождества (диагональ из 1, остальные члены — 0). Когда вы достигнете этой точки, правая часть вашего вертикального делителя будет обратной по отношению к исходной матрице.
4. Выпишите обратную матрицу. Скопируйте элементы, которые теперь появляются в правой части вертикального делителя, в обратную матрицу.
Использование калькулятора для нахождения обратной матрицы
1. Выберите калькулятор с возможностью работы с матрицами. Простые 4-функциональные калькуляторы не смогут помочь вам напрямую найти обратную величину. Однако из-за повторяющегося характера вычислений продвинутый графический калькулятортакой как Texas Instruments TI-83 или TI-86, может значительно сократить работу.
2. Введите матрицу в калькулятор. Сначала войдите в функцию Matrix вашего калькулятора, нажав клавишу Matrix, если она у вас есть. На калькуляторах Texas Instruments вам может понадобиться нажать 2 Matrix.
3. Выберите подменю Редактировать. Чтобы попасть в это подменю, вам может потребоваться использовать кнопки со стрелками или выбрать соответствующую функциональную клавишу в верхней части клавиатуры калькулятора, в зависимости от его устройства.
4. Выберите имя для своей матрицы. Большинство калькуляторов рассчитаны на работу с 3-10 матрицами, обозначенными буквами от A до J. Обычно для работы достаточно выбрать [A]. После выбора нажмите клавишу Enter.
5. Введите размеры вашей матрицы. В этой статье рассматриваются матрицы размером 3×3. Однако калькулятор может работать и с матрицами большего размера. Введите количество строк, затем нажмите Enter, затем количество столбцов и Enter.
6. Введите каждый элемент матрицы. На экране калькулятора появится матрица. Если вы ранее работали с функцией матрицы, на экране появится предыдущая матрица. Курсор выделит первый элемент матрицы. Введите значение матрицы, которую вы хотите решить, и нажмите Enter. Курсор автоматически переместится к следующему элементу матрицы, перезаписывая все предыдущие числа.
- Если вы хотите ввести отрицательное число, используйте кнопку отрицательных значений (-), а не клавишу «минус» на вашем калькуляторе. Матричная функция не сможет правильно считать число.
- При необходимости вы можете использовать клавиши-стрелки калькулятора для перемещения по матрице.
7. Выйдите из функции «Матрица». После ввода всех значений матрицы нажмите клавишу Quit (или 2 Quit, если необходимо). Это приведет к выходу из функции Matrix и вернет вас на главный экран калькулятора.
8. Чтобы найти обратную матрицу, воспользуйтесь клавишей инверсии. Сначала снова откройте функцию Matrix и с помощью кнопки Names выберите метку матрицы, которую вы использовали для определения матрицы (вероятно, [A]). Затем нажмите клавишу инверсии вашего калькулятора, . В зависимости от модели калькулятора для этого может потребоваться кнопка 2. На экране должно появиться сообщение . Нажмите Enter, и на экране появится инверсная матрица.
- Не используйте кнопку ^ на калькуляторе, чтобы попытаться ввести A^-1 отдельными нажатиями. Калькулятор не поймет эту операцию.
- Если при вводе клавиши инверсии вы получаете сообщение об ошибке, есть вероятность, что у вашей исходной матрицы нет инверсии. Чтобы выяснить это, вам, возможно, потребуется вернуться и вычислить определитель.
9. Преобразуйте обратную матрицу в точные ответы. Первое вычисление, которое выдаст вам калькулятор, будет в десятичной форме. Для большинства целей это не считается «точным». При необходимости вы должны преобразовать десятичные ответы в дробные. (Если вам очень повезет, все ваши результаты будут целыми числами, но это бывает редко).
- В вашем калькуляторе, вероятно, есть функция, которая автоматически преобразует десятичные числа в дробные. Например, на TI-86 войдите в функцию Math, выберите Misc, затем Frac и Enter. Десятичные числа автоматически преобразуются в дроби.
10. Большинство графических калькуляторов также имеют клавиши с квадратными скобками (на TI-84 это 2 + x и 2 + -), которые можно использовать для ввода матрицы без использования функции матрицы. Примечание: Калькулятор отформатирует матрицу только после нажатия клавиши Enter/equals (т. е. все будет в одну строку и некрасиво).
Практические задачи и ответы
