Given в маткаде это

8.3. Системы уравнений

Рассмотрим решение системы N нелинейных уравнений с M неизвестными

Здесь f₁(x₁, . ,х_м) , . f_n(x₁, . ,х_м) — некоторые скалярные функции от скалярных переменных хцх2/ . /хм и, возможно, от еще каких-либо переменных. Уравнений может быть как больше, так и меньше числа переменных. Заметим, что систему (1) можно формально переписать в виде

где х — вектор, составленный из переменных x1,х2, . ,хм, a f (х) — соответствующая векторная функция.

Для решения систем имеется специальный вычислительный блок, состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

Given — ключевое слово;
система, записанная логическими операторами в виде равенств и, возможно, неравенств;
Find(x1. ,хм) — встроенная функция для решения системы относительно переменных хх. хм.

Вставлять логические операторы следует, пользуясь панелью инструментов Boolean (Булевы операторы). Если Вы предпочитаете ввод с клавиатуры, помните, что логический знак равенства вводится сочетанием клавиш + . Блок Given/Find использует для поиска решения итерационные методы, поэтому, как и для функции root, требуется задать начальные значения для всех х1, . ,xм. Сделать это необходимо до ключевого слова Given. Значение функции Find есть вектор, составленный из решения пс каждой переменной. Таким образом, число элементов вектора равно число аргументов Find.

В листинге 8.6. приведен пример решения системы двух уравнений.

Листинг 8.6. Решение системы уравнений

В первых двух строках листинга вводятся функции, которые определяют систему уравнений. Затем переменным х и у, относительно которых она будет решаться, присваиваются начальные значения. После этого следует ключевое слово Given и два логических оператора, выражающих рассматриваемую систему уравнений. Завершает вычислительный блок функция Find, значение которой присваивается вектору v. Следующая строка показывает содержание вектора v, т. е. решение системы. Первый элемент вектора есть первый аргумент функции Find, второй элемент — ее второй аргумент. В последних двух строках осуществлена проверка правильности решения уравнений.

Часто бывает очень полезно проверить точность решения уравнений, вычислив значения образующих их функций в найденных вычислительным процессором корнях, как это сделано в конце листинга 8.6.

Отметим, что уравнения можно определить непосредственно внутри вычислительного блока. Таким образом, можно не определять заранее функции f (x,y) и д(х,у), как это сделано в первых двух строках листинга 8.6, а сразу написать:

Такая форма представляет уравнения в более привычной и наглядной форме, особенно подходящей для документирования работы.

Графическая интерпретация рассмотренной системы представлена на рис. 8.3. Каждое из уравнений показано на плоскости XY графиком. Первое — сплошной кривой, второе — пунктиром. Поскольку второе уравнение линейное, то оно определяет на плоскости XY прямую. Две точки пересечения кривых соответствуют одновременному выполнению обоих уравнений, т. е. искомым действительным корням системы. Как нетрудно убедиться, в листинге найдено только одно из двух решений — находящееся в правой нижней части графика Чтобы отыскать и второе решение, следует повторить вычисления, изменив начальные значения так, чтобы они лежали ближе к другой точке пересечения графиков, например x=-1, y=-1.

Рис. 8.3. Графическое решение системы двух уравнений

Пока мы рассмотрели пример системы из двух уравнений и таким же числом неизвестных, что встречается наиболее часто. Но число уравнений и неизвестных может и не совпадать. Более того, в вычислительный блок можно добавить дополнительные условия в виде неравенств. Например, введение ограничения на поиск только отрицательных значений х в рассмотренный выше листинг 8.6 приведет к нахождению другого решения, как это показано в листинге 8.7.

Листинг 8.7. Решение системы уравнений и неравенств

Обратите внимание, что, несмотря на те же начальные значения, что и в листинге 8.6, мы получили в листинге 8.7 другой корень. Это произошло именно благодаря введению дополнительного неравенства, которое определено в блоке Given в предпоследней строке листинга 8.7.

Если предпринять попытку решить несовместную систему, Mathcad выдаст сообщение об ошибке, гласящее, что ни одного решения не найдено, и предложение попробовать поменять начальные значения или значение погрешности.

Вычислительный блок использует константу CTOL в качестве погрешности выполнения уравнений, введенных после ключевого слова Given. Например, если CTOL=0.001, то уравнение х=10 будет считаться выполненным и при х=10.001, и при х=9.999. Другая константа TOL определяет условие прекращения итераций численным алгоритмом (см. разд. 8.4). Значение стоъ может быть задано пользователем так же как и TOL, например, CTOL:=0.01. По умолчанию принято, что CTOL=TOL=0.001, но Вы по желанию можете переопределить их.

Особенную осторожность следует соблюдать при решении систем с числом неизвестных большим, чем число уравнений. Например, можно удалить одно из двух уравнений из рассмотренного нами листинга 8.6, попытавшись решить единственное уравнение g(х,у)=о с двумя неизвестными х и у. В такой постановке задача имеет бесконечное множество корней: для любого х и, соответственно, у=-х/2 условие, определяющее единственное уравнение, выполнено. Однако, даже если корней бесконечно много, численный метод будет производить расчеты только до тех пор, пока логические выражения в вычислительном блоке не будут выполнены (в пределах погрешности). После этого итерации будут остановлены и выдано решение. В результате будет найдена всего одна пара значений (х,у), обнаруженная первой.

О том, как найти все решения рассматриваемой задачи, рассказывается в разд. 8.7.

Вычислительным блоком с функцией Find можно найти и корень уравнения с одним неизвестным. Действие Find в этом случае совершенно аналогично уже рассмотренным в данном разделе примерам. Задача поиска корня рассматривается как решение системы, состоящей из одного уравнения. Единственным отличием будет скалярный, а не векторный тип числа, возвращаемого функцией Find. Пример решения уравнения из предыдущего раздела приведен в листинге 8.8.

Листинг 8.8. Поиск корня уравнения с одним неизвестным с помощью функции Find

В чем же отличие приведенного решения от листинга 8.1 с функцией root? Оно состоит в том, что одна и та же задача решена различными численными методами. В данном случае выбор метода не влияет на окончательный результат, но бывают ситуации, когда применение того или иного метода имеет решающее значение.

MathCad | ANSYS CFX | MS Office

Поиск по сайту

Выбор языка

Решение уравнений в MathCad

Часто в курсовом проекте, либо в лабораторной работе встает вопрос о решении какого-либо сложного большого уравнения с одним неизвестным. Не всегда хочется тратить 10 — 20 минут на рутинные преобразования в процессе которых, велика вероятность допущения ошибки. Целесообразно воспользоваться математической программой (в данном случае MathCad), которая быстро и правильно сможет дать ответ. Мы рассмотрим пример использования 2-ух способов решения уравнений, причем как в числах так и в символьном виде.

Способ №1: использование вычислительного блока Given — Find:

Это наиболее распространенный способ решения обычных алгебраических уравнений. Он достаточно прост. В рабочем поле записываем первое слово Given. Это служебное слово. Оно "подключает" определенные программные модули mathcad, необходимые для решения уравнения. Эти модули в своем составе содержат основные численные методы решения: метод бисекции, простой итерации и пр. Далее пишется наше уравнение в любом — явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры с использованием логического символа "равно". На панельке Boolean (Булева алгебра) он выделен жирным шрифтом (см. рис. 1).
Рис. 1. Панель "Булевая алгебра"
Далее пишется слово Find(x) (где х — переменная). Это функция, которая и получает ответ. Функцию Find(x) можно присвоить какой-либо переменной и использовать далее в расчетах. Для получения результата, после Find(x) следует поставить символ "→" либо "=" (см. рис. 2).
Рис. 2. Панель "Вычисления"
В зависимости от сложности уравнения через некоторое время MathCad выведет результат.

Возможности MathCad позволяют определить корень как в численном виде (т. е. результат решения уравнения представляет собой число) так и в символьном (результат — выражение). Для численного определения корня необходимо задать (определить) ВСЕ переменные входящие в уравнение и даже искомую переменную. MathCad воспринимает задание искомой переменной как начальное приближение корня. Крайне важно задаться начальным приближением, поскольку без него корень уравнения невозможно определить в силу особенностей используемых численных методов. Нужно отметить, что некорректное задание начального приближения часто становится причиной получения неверного результата либо его отсутствия вообще. Но не стоит забывать также и о том, что корня может не быть, потому что само уравнение его не имеет.
В том случае, если необходимо решить уравнение относительно какой-либо переменной в символьном виде, то нет необходимости задаваться значениями всех входящих в уравнение параметров и начальным приближением переменной. В этом случае достаточно ввести уравнение (также через "жирное равно") и после оператора Find(x) поставить "→". При этом будут работать уже другие функции MathCad, которые заточены под символьное преобразование и упрощение выражений. Результатом решения будет выражение. Стоит отметить, что MathCad сможет записать решение далеко не всякого уравнения. В этом смысле его возможности ограничены.

Для подтверждения и закрепления выше сказанного, Вам предлагается скачать и познакомиться с примерами решения уравнений как в численном так и в символьном виде.

Пример №1. Решение уравнения в MathCad с помощью блока Given Find численно: Скачать

Пример №2. Решение уравнения в MathCad с помощью блока Given Find символьно: Скачать

Способ №2: Применение метода solve:

Этот метод по существу не отличается от выше рассмотренного, поскольку процедура нахождения корня аналогична. Разница лишь в оформлении. В этом случае наше уравнение записывается без операторов Given и Find. После ввода уравнения на панели Symbolic нажимаем кнопку solve (см. рис. 3), определяем через запятую искомую переменную, жмем "→" и получаем ответ.
Рис. 3. Панель "Символьные"
Иногда, то что не получается найти с помощью Given Find получается в solve.

Пример №3. Решение уравнения в MathCad с помощью solve: Скачать

Mathcad дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно пятидесяти. В первой части этого раздела описаны процедуры решения систем уравнений. В заключительной части приведены примеры и проведено обсуждение некоторых часто встречающихся ошибок. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня. Для символьного решения уравнений необходимо использовать блоки символьного решения уравнений. При символьном решении уравнений искомый корень выражается через другие переменные и константы.

Для решения системы уравнений выполните следующее:

Задайте начальные приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает уравнения при помощи итерационных методов. На основе начального приближения строится последовательность, сходящаяся к искомому решению.
Напечатайте ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений. При печати слова Given можно использовать любой шрифт, прописные и строчные буквы. Убедитесь, что при этом Вы не находитесь в текстовой области или параграфе.
Введите уравнения и неравенства в любом порядке ниже ключевого слова Given. Удостоверьтесь, что между левыми и правыми частями уравнений стоит символ =. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов , , и .
Введите любое выражение, которое включает функцию Find. При печати слова Find можно использовать шрифт любого размера, произвольный стиль, прописные и строчные буквы.

Find(z1, z2, z3, . . . )

Возвращает решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Функция Find возвращает найденное решение следующим образом:

Если функция Find имеет только один аргумент, то она возвращает решение уравнения, расположенного между ключевым словом Given и функцией Find.
Если функция Find имеет более одного аргумента, то она возвращает ответ в виде вектора. Например, Find(z1, z2) возвращает вектор, содержащий значения z1 и z2 , являющиеся решением системы уравнений.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называются блоком решения уравнений.

На Рисунке 5 показан рабочий документ, который использует блок решения уравнений для решения одного уравнения с одним неизвестным. Так как имеется только одно уравнение, то только одно уравнение появляется между ключевым словом Given и формулой, включающей функцию Find. Так как уравнение имеет одно неизвестное, то функция Find имеет только один аргумент. Для решения одного уравнения с одним неизвестным можно также использовать функцию root, как показано ниже:

Рисунок 5: Блок решения уравнений для одного уравнения с одним неизвестным.

Между ключевым словом Given и функцией Find в блоке решения уравнений могут появляться выражения строго определенного типа. Ниже приведен список всех выражений, которые могут быть использованы в блоке решения уравнений. Использование других выражений не допускается. Эти выражения часто называются ограничениями. В таблице, приведенной ниже, через x и y обозначены вещественнозначные скалярные выражения, а через z и w обозначены любые скалярные выражения.

Условие	Как ввести	Описание
w = z	[Ctrl] =	Булево равенство возвращает 1, если операнды равны; иначе 0
x > y	>	Больше чем.
x

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения уравнений:

Ограничения со знаком .
Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.
Неравенства вида a -15 .

Причиной появления этого сообщения об ошибке может быть следующее:

Поставленная задача может не иметь решения.
Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число. Если решение задачи комплексное, то оно не будет найдено, если только в качестве начального приближения не взято также комплексное число. На Рисунке 11 приведен соответствующий пример.
В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Метод поиска решения, который используется в Mathcad, не позволяет в этом случае построить следующее приближение, которое бы уменьшало невязку. Для поиска искомого решения пробуйте использовать различные начальные приближения или добавьте ограничения на переменные в виде неравенств, чтобы обойти точку локального минимума.
В процессе поиска решения получена точка, которая не является точкой локального минимума, но из которой метод минимизации не может определить дальнейшее направление движения. Метод преодоления этой проблемы — такой же, как для точки локального минимума: измените начальное приближение или добавьте ограничения в виде неравенств, чтобы миновать нежелательную точку остановки.
Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Если значение встроенной переменной TOL слишком мало, то Mathcad может достигнуть точки, находящейся достаточно близко к решению задачи, но уравнения и ограничения при этом не будут выполнены с точностью, задаваемой переменной TOL. Попробуйте увеличить значение TOL где-нибудь выше блока решения уравнений.

Что делать, когда имеется слишком мало ограничений

Если количество ограничений меньше, чем количество переменных, Mathcad вообще не может выполнить блок решения уравнений. Mathcad помечает в этом случае функцию Find сообщением об ошибке “слишком мало ограничений”.

Задача, аналогичная той, которая приведена на Рисунке 12, называется недоопределенной. Ограничений в ней меньше, чем переменных. Поэтому ограничения не содержат достаточной информации для поиска решения. Поскольку функция Find имеет пять аргументов, Mathcad определяет, что требуется решить два уравнения с пятью неизвестными. Вообще говоря, такая задача обычно имеет бесконечное число решений.

При использовании блока решения уравнений в Mathcad необходимо задать количество уравнений по крайней мере не меньшее, чем число искомых неизвестных. Если зафиксировать значения некоторых переменных, удастся решить уравнения относительно оставшихся переменных. На Рисунке 13 показано, как, зафиксировав часть переменных, решить недоопределенную задачу из Рисунка 12. Поскольку функция Find содержит только два аргумента, z и w, Mathcad определяет переменные x, y и v как имеющие фиксированные значения 10, 50 и 0 соответственно. Блок решения уравнений становится в этом случае корректно определенным, потому что теперь имеются только две неизвестных, z и w, и два уравнения.