N мерный вектор это

В разделе векторы — основные определения мы ввели понятие вектора в двумерном пространстве (на плоскости) и в трехмерном пространстве. В этой статье мы отойдем от геометрического толкования вектора и посмотрим на него не как на направленный отрезок, а как на упорядоченный набор чисел с присущими ему свойствами. То есть, мы рассматрим векторы с позиций алгебры, что позволит расширить понятие вектора на случай n -мерного пространства. Итак, мы дадим понятие n -мерного вектора, зададим операции над n -мерными векторами, перечислим свойства этих операций и покажем их применение при решении задач.

Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел называется n-мерным вектором.

Числа называются координатами вектора.

Векторы обозначаются строчными латинскими буквами, например, a, b, c и т.п., координаты вектора указываются в скобках.

Если записать вектор a как , то имеем вектор-строку; если записать , то имеем вектор-столбец. Это две формы записи одного и того же объекта — n -мерного вектора.

Обратите внимание: при обозначении n -мерных векторов стрелочка сверху над буквой (которая ставится при обозначении вектора на плоскости и в трехмерном пространстве) отсутствует.

Вектор , все координаты которого равны нулю, называют нулевым вектором.

Вектор называется противоположным вектору .

Для n -мерных векторов задаются две операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов и называется вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат, то есть, .

Следует отметить, что складывать можно только векторы количество координат которых совпадает. Операция сложения для векторов, имеющих различное число координат, не определена.

Произведением действительного или комплексного числа и вектора называется вектор, координаты которого равны соответствующим координатам вектора а , умноженным на , то есть, .

Введенные таким образом операции над n -мерными векторами при n=2 и n=3 полностью согласуются с операциями сложения и умножения вектора на число на плоскости и в трехмерном пространстве в геометрическом смысле. Под координатами двумерного или трехмерного вектора в этом случае понимаем координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве соответственно.

Перечислим свойства операций над n -мерными векторами.

Для любых векторов и произвольных действительных или комплексных чисел справедливо:

1. свойство коммутативности сложения векторов a+b=b+a ;
2. свойство ассоциативности векторов (a+b)+c=a+(b+c) ;
3. существует нейтральный вектор по операции сложения, им является нулевой вектор, a+0=a ;
4. для любого вектора существует противоположный вектор, которые в сумме дают нулевой вектор a+(-a)=0 ;
5. Сочетательное свойство умножения .
6. Первое распределительное свойство .
7. Второе распределительное свойство .
8. существует нейтральное число по операции умножения, им является единица .

Эти свойства справедливы в силу свойств операций сложения и умножения действительных или комплексных чисел.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов a и b есть сумма векторов a и -b .

Перечисленные свойства операций позволяют выполнять преобразования в выражениях содержащих векторы по тем же принципам, что и в числовых выражениях.

Рассмотрим несколько примеров.

Даны векторы . Найдите сумму и разность векторов a и b .

Суммой двух векторов является вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат:

Разность векторов a и b есть сумма вектора а и вектора b , предварительного умноженного на минус единицу: . Сначала выполняется умножение вектора на число:

Осталось выполнить сложение:

Даны векторы . Найдите вектор .

Сначала упростим выражение, используя свойства операций над векторами:

Теперь найдем координаты полученного вектора:

Даны векторы . Найдите координаты вектора , выполнив необходимые операции.

При нахождении координат вектора сначала выполним умножение вектора e на число 2 , далее просуммируем соответствующие координаты:

Даны векторы . Выполните указанные действия .

Вектор имеет четыре координаты, а вектор — три, поэтому мы не можем их сложить и, следовательно, не можем выполнить действия над векторами .

Мы не можем выполнить указанные действия с заданными векторами.

Множество всех n -мерных векторов с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число порождают линейное пространство.

Линейное пространство, элементами которого являются векторы, называется векторным или арифметическим.

Мы дали понятие n -мерного вектора, рассмотрели операции над n -мерными векторами, их свойства и увидели, что множество всех n -мерных векторов с определенными на нем операциями сложения и умножения на число порождают векторное пространство.

Векторная алгебра

N – мерные векторы.

1. Линейные операции над n – мерными векторами.

2. Разложение вектора по системе векторов.

Введение. Пространство можно определить, как некоторое множество, имеющее структуру.

Пространство считается заданным, если между объектами множества установлены вполне определенные отношения и (или) определены некоторые операции.

Поскольку понятие пространства сформировалось в результате абстрагирования и обобщения трёхмерного евклидового пространства, то в пространстве обычно фиксируются отношения сходные по формальным признакам с этим пространством.

Наиболее характерным среди них является расстояние.

Исторически первым сформировалось понятие 3-х мерного геометрического пространства, которое в дальнейшем обобщалось и трансформировалось.

Один из вариантов обобщения:

— увеличение размерности объектов, составляющих пространство вплоть до объектов бесконечной размерности.

— переход от числовых последовательностей как элементов пространства к объектам, имеющим самую различную природу.

Возможность перехода от трехмерных векторов к многомерным появилась тогда, когда вектор стали рассматривать, как упорядоченную последовательность n чисел.

Пример 1 (многомерного пространства)

Каждая точка фазового пространства характеризуется упорядоченным набором параметров, описывающих состояние объекта рассмотрения.

Экономическое состояние предприятия может характеризоваться:

Стоимостью основных фондов, количеством работников, объемом выпускаемой продукции, её себестоимостью и т.п., которые в совокупности можно рассматривать в n – мерном пространстве, а изменения экономического состояния – как траекторию (годограф) движения в этом пространстве состояний.

Пример 2 Трехмерное цветовое пространство, состоящее из векторов, компоненты которого суть интенсивности красного, зелёного и синего цветов.

Изменяя, интенсивность этих 3-х цветов и накладывая, их потом друг на друга, можно получать цветовую палитру с неограниченным числом различных оттенков. На этом принципе основана работа цветных электроннолучевых трубок в телевизорах и мониторах компьютеров.

Формально переход от одного цвета или оттенка к другому можно описать перемещением от точки к точке в 3-х мерном цветовом пространстве. При этом изменение цвета можно измерять количественно, используя операции над векторами.

Линейные операции над n-мерными векторами.

Пусть на каком-нибудь множестве объектов определены действия сложения и умножения на число. Это означает, что указанные действия имеют смысл и результатами их действий являются элементы того же самого множества.

Например: сложение определено на множестве матриц одной размерности, а для матриц различной размерности сложение не имеет смысла.

— умножение на вещественное число во множестве целых чисел неопределенно, т.к результатом такого умножения может оказаться нецелое число (объект другого множества)

Определение. Линейным пространством называется множество, на котором определены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющее следующим условиям:

1. Коммутативность:

2. Ассоциативность:

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что для любого x

4. Для любого элемента существует противоположный ему элемент такой, что

5. Пусть c и d — числа, тогда:

6.

7.

Примерами линейного пространства является:

— пространство действительных чисел.

— множество геометрических векторов на плоскости.

— пространство матриц фиксированной размерности.

— пространство решений однородных линейных систем и др.

Будем рассматривать в качестве элементов линейного пространства

n- мерные векторы, как упорядоченные наборы из n вещественных чисел, называемых координатами или компонентами векторов, т.е .

Линейное пространство таких n-мерных векторов называют

n-мерным вещественным векторным пространством и обозначают R n числа x_i(i=1,…n)-составляющие вектора,

n- размерность вектора.

Определение. Сумма n- мерных векторов и новый n — мерный вектор , составляющие которого равны суммам соответствующих составляющих складываемых векторов, т.е.

Складывать можно лишь векторы одинаковой размерности

(3:-1;9)+(6;2) – не определена. (6;2) (6;2:0)

Пусть дано m векторов , тогда линейная комбинация этих векторов выглядит так:

Скалярное произведениевекторов и называется число равное сумме парных произведений соответствующих составляющих этих векторов, т.е

Определение. Вещественное векторное пространство в котором введено скалярное произведение, называется Евклидовым пространством

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9380 — | 7306 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

В статьях ранее мы рассматривали понятие вектора как элемента плоскости или пространства, т.е. геометрического объекта, имеющего конкретные очертания. Однако также возможно взглянуть на понятие с алгебраической точки зрения, когда вектор — уже не отрезок с заданным направлением, а упорядоченный комплекс чисел с определенными свойствами.

n -вектор – упорядоченный набор n действительных чисел.

Записывается в виде строки a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) или столбца a = a 1 a 2 ⋮ a n , где

a i – координаты n-вектора, обозначаемые латинскими буквами и записываемые в скобках.

Размерность n -вектора – это количество его координат. Например, задан n -мерный вектор b → с координатами (2, -5, 3, 9). Заданный вектор является четырёхмерным.

Равные n -векторы – n -векторы, имеющие одну и ту же размерность, а также равенство одноименных координат.

Нулевой вектор – вектор, у которого все координаты равны нулю: 0 = ( 0 , 0 , . . , 0 )

Противоположные векторы – векторы с координатами, равными по модулю, но противоположными по знаку. Например,

a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n )

— a = ( — a 1 , — a 2 , . . . , — a n )

Над n -мерными векторами возможно проведение операций сложения и умножения на число.

Сложение n-векторов

Результатом сложения двух n -мерных векторов будет вектор, координаты которого являются суммой соответствующих координат заданных векторов.

Операции сложения подлежат векторы одинаковой размерности.

Исходные данные: a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) и a = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) .

Результатом будет вектор a + b = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , . . . , a n + b n ) .

Операция вычитания отдельно не рассматривается, поскольку по сути разностью векторов a и b является сумма векторов а и – b .

Умножение n-вектора на число

Результатом умножения заданного вектора на действительное или комплексное число будет вектор, каждая из координат которого определяется умножением исходной координаты на заданное число.

Исходные данные: a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) и число λ .

Результатом произведения будет:

λ · a = ( λ · a 1 , λ · a 2 , . . . , λ · a n )

Множество всех n -векторов с производимыми действиями умножения на число и сложения составляют линейное пространство.

Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами

Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами полностью сопоставимы с аналогичными операциями над векторами-геометрическими объектами. По сути координаты двухмерных и трехмерных векторов являются координатами вектора на плоскости или в пространстве в прямоугольной системе координат.

Свойства операций над n-мерными векторами

Исходные данные: векторы a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) , b = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) , c = ( c 1 , c 2 , . . . , c n ) и действительные или комплексные числа λ , μ .

1. Свойство коммутативности: a + b = b + a .
2. Свойство ассоциативности: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) .
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор): a + 0 = a .
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное 1): 1 · а = а

Любой ненулевой вектор а имеет противоположный вектор — а и верным является равенство:

Сочетательное свойство умножения: ( λ · μ ) · a = λ · ( μ · a ) .

Первое распределительное свойство: ( λ + μ ) · a = λ · a + μ · a .

Второе распределительное свойство: λ · ( a + b ) = λ · a + λ · b .

Рассмотри некоторые примеры по теме.

Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 )

Необходимо найти сумму и разность векторов.

Решение

Заданные вектора имеют одинаковую размерность, следовательно, операция сложения выполнима. Для этого найдем сумму координат векторов:

a + b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( 1 + 1 2 , 2 + ( — 1 ) , 7 + ln 5 , 0 + 2 . 3 ) = = ( 3 2 , 2 — 1 , 7 + ln 5 , 2 . 3 )

Разницей исходных векторов будет являться сумма векторов a и b · ( — 1 ) :

a — b = a + ( — 1 ) · b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 ) · ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 )

Выполним умножение вектора на число:

a — b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 ) · ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( ( — 1 ) · 1 2 , ( — 1 ) · ( — 1 ) , ( — 1 ) · ln 5 , ( — 1 ) · 2 . 3 ) = = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 2 , 1 , ln 1 5 , — 2 . 3 )

И совершим действие сложения:

a — b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 2 , 1 , ln 1 5 , — 2 . 3 ) = = ( 1 + ( — 1 2 ) , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , 0 + ( — 2 . 3 ) ) = = ( 1 2 , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , — 2 . 3 )

Ответ:

a + b = ( 3 2 , 2 — 1 , 7 + ln 1 5 , 2 . 3 ) a — b = ( 1 2 , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , — 2 . 3 )

Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 )

Необходимо найти вектор: a — 2 · ( b + 3 · a )

Решение

Упростим выражение, опираясь на свойства операций над векторами:

a — 2 · ( b + 3 · a ) = a — 2 · b — 6 · a = — 5 · a + ( — 2 ) · b

Определим координаты полученного вектора:

— 5 · a + ( — 2 ) · b = = — 5 · ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 2 ) ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( ( — 5 ) · 1 , ( — 5 ) · 2 , ( — 5 ) · 7 , ( — 5 ) · 0 ) + + ( ( — 2 ) · 1 2 , ( — 2 ) · ( — 1 ) , ( — 2 ) · ln 5 , ( — 2 ) · 2 . 3 ) = = ( — 5 , — 5 2 , — 35 , 0 ) + ( — 1 , 2 , ln 1 25 , — 4 . 6 ) = = ( — 5 + ( — 1 ) , — 5 2 + 2 , — 35 + ln 1 25 , 0 + ( — 4 . 6 ) ) = = ( — 6 , — 5 2 + 2 , — 35 + ln 1 25 , — 4 . 6 )

Ответ:

a — 2 · ( b + 3 · a ) = ( — 6 , — 5 2 + 2 , — 35 + ln 1 25 , — 4 . 6 )

Исходные данные: векторы с = 1 2 — 3 , d = 0 0 3 , e = — 1 — 1 1

Необходимо определить координаты вектора: c + d + 2 e

Решение

Выполним операцию умножения вектора е на число 2, а затем найдем сумму:

c + d + 2 · e = 1 2 — 3 + 0 0 3 + 2 · — 1 — 1 1 = = 1 2 — 3 + 0 0 3 + 2 · ( — 1 ) 2 · ( — 1 ) 2 · 1 = = 1 2 — 3 + 0 0 3 + — 2 — 2 2 = = 1 + 0 + ( — 2 ) 2 + 0 + ( — 2 ) — 3 + 3 + 2 = — 1 0 2

Ответ: c + d + 2 · e = — 1 0 2

Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) , f = ( 4 , 11 , 21 )

Необходимо найти вектор: 3 · a + 2 · b — 7 · ( a + f )

Решение

Исходные векторы имеют разную размерность ( а и f ), поэтому выполнить необходимые операции не представляется возможным.

Ответ: невозможно выполнить указанные действия с заданными векторами.