0,(9) или 0,999… ( 0. 9 ¯ <displaystyle 0.<ar <9>>> 
, 0. 9 ˙ <displaystyle 0.<dot <9>>> ) («ноль и девять в периоде») — периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами,
1 = 0 , ( 9 ) . <displaystyle 1=0<,>(9).>
Существует несколько доказательств этого равенства, основанных на понятии предела.
Содержание
- Содержание
- Доказательства [ править | править код ]
- Применение [ править | править код ]
- В популярной культуре [ править | править код ]
- Получаем периодическую дробь
- Виды периодических дробей
- Избавляемся от хвоста
- Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь
- Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь
- 21 thoughts on “Периодические дроби”
- Ответ
Содержание
Доказательства [ править | править код ]
Алгебраические доказательства [ править | править код ]
Деление столбиком [ править | править код ]
Рациональная дробь (например, 1 3 <displaystyle <frac <1><3>>> ) в десятичном виде может быть представлена только как периодическая десятичная дробь. Выполнив деление столбиком целого числа 1 на целое число 3, получим число 0,333… (в десятичной записи), в котором цифры 3 повторяются бесконечно:
Умножая последнее на число 3 заметим, что умножение каждой тройки на 3 даёт девятку:
Заменив 0,333… на 1 ⁄3 , получим:
1 ⁄3 × 3 = 0,999… ; 1 = 0,999… [1] . 1 = 3 ⋅ 1 3 = 3 ⋅ 0,333 … = 0,999 … = 0 , ( 9 ) ; <displaystyle 1=3cdot <frac <1><3>>=3cdot 0<,>333ldots =0<,>999ldots =0<,>(9);> 1 = 9 ⋅ 1 9 = 9 ⋅ 0,111 … = 0,999 … = 0 , ( 9 ) . <displaystyle 1=9cdot <frac <1><9>>=9cdot 0<,>111ldots =0<,>999ldots =0<,>(9).>
Манипуляции с цифрами [ править | править код ]
При умножении десятичного числа на число 10 цифры не меняются, запятая передвигается на одну цифру вправо:
Произведение 9,999… на 9 больше, чем множитель 0,999…; убедимся в этом, отняв 0,999… от 9,999…; дробная часть разности будет равна нулю, так как 9-9 = 0 для каждого разряда дробной части:
9,999… — 0,999… = 9,000… = 9 . x = 0,999 … ; 10 x = 9,999 … ; 10 x − x = 9,999 … − 0,999 … ; 9 x = 9 ; x = 1 ; 0,999 … = 1. <displaystyle <egin
Нахождение разности [ править | править код ]
Так как два числа равны, если их разность равна нулю, то равенство
будет верно, если разность чисел 1 и 0,(9) будет равна нулю:
Докажем последнее равенство. Сперва найдем разность 1 и 0,9 (первая итерация):
Затем найдём разность 1 и 0,99 (вторая итерация):
После чего по той же схеме определим разность 1 и 0,999 (третья итерация):
1 − 0 , 9 = 0 , 1 1 − 0 , 99 = 0 , 01 1 − 0,999 = 0,001 … <displaystyle <egin
Для каждой новой итерации значение вычитаемого будет стремиться к 0,(9), а разность — к нулю. В общем случае данную ситуацию можно записать следующим образом:
1 − 0 , 99 … 9 ⏟ n = 0 , 00 … 0 ⏟ m = n − 1 1 , <displaystyle <egin
Для нахождения разности 1-0,(9) положим значение номера итерации равным бесконечности:
m = n − 1 = ∞ , <displaystyle m=n-1=infty ,>
то есть, формально, в дробной части искомой разности имеется бесконечное количество нолей, после которых следует единица:
1 − 0 , ( 9 ) = [ 0 , ( 0 ) 1 ] <displaystyle 1-0<,>(9)=[0<,>(0)1]> [2] .
Если после запятой находится бесконечное множество цифр (в данном случае — нулей), то в следующий после нулей разряд невозможно вписать больше ни одной цифры, поскольку такого разряда не существует. В данном случае дробная часть разницы будет состоять из бесконечного количества нулей, а, следовательно, единицы после нулей не будет.
Стоит отметить, что если рассматривать множество гиперреальных чисел, то единицу после бесконечности нулей можно считать бесконечно малым числом, однако так как мы рассматриваем вещественные числа, то в таких случаях, например в нестандартном анализе, используют функцию, округляющую до ближайшего вещественного, меньшего по модулю [ источник не указан 838 дней ] .
Таким образом разность будет представлена в виде чистой периодической дроби с нулевой целой частью и периодом, состоящим из одного нуля: 0,(0), что является представлением числа 0 в виде периодической десятичной дроби:
0 , ( 0 ) = 0. <displaystyle 0<,>(0)=0.>
1 − 0 , ( 9 ) = 0 , <displaystyle 1-0<,>(9)=0,>
1 = 0 , ( 9 ) . <displaystyle 1=0<,>(9).>
Аналитические доказательства [ править | править код ]
Число 0,999… в общем виде можно записать как последовательность цифр b 0 . b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 … , <displaystyle b_<0>.b_<1>b_<2>b_<3>b_<4>b_<5>dots ,> где b i <displaystyle b_> — цифра, стоящая в i ‑ом разряде.
Бесконечные последовательности [ править | править код ]
В соответствии с определением десятичной системы счисления, посчитаем сумму ряда
b 0 . b 1 b 2 b 3 b 4 … = b 0 + b 1 ( 1 10 ) + b 2 ( 1 10 ) 2 + b 3 ( 1 10 ) 3 + b 4 ( 1 10 ) 4 + ⋯ . <displaystyle b_<0>.b_<1>b_<2>b_<3>b_<4>ldots =b_<0>+b_<1>(< frac <1><10>>)+b_<2>(< frac <1><10>>)^<2>+b_<3>(< frac <1><10>>)^<3>+b_<4>(< frac <1><10>>)^<4>+cdots .>
Применив теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии [3] :
если | r | 1 , <displaystyle |r| то a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ = a r 1 − r , <displaystyle ar+ar^<2>+ar^<3>+cdots =<frac где r = 1 10 <displaystyle r= extstyle <frac <1><10>>> — радиус сходимости (знаменатель прогрессии),
0.999 … = 9 ( 1 10 ) + 9 ( 1 10 ) 2 + 9 ( 1 10 ) 3 + ⋯ = 9 ( 1 10 ) 1 − 1 10 = 1. <displaystyle 0.999ldots =9(< frac <1><10>>)+9(< frac <1><10>>)^<2>+9(< frac <1><10>>)^<3>+cdots =<frac <9(< frac <1><10>>)><1-< frac <1><10>>>>=1.>
Такое доказательство (об эквивалентности чисел 10 и 9,999…) было опубликовано в 1770 году Леонардом Эйлером в издании «Элементы алгебры ( англ. ) » [4] .
Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. В выпущенном в 1811 году учебнике «An Introduction to Algebra» также используется геометрическая прогрессия для числа 0,(9) [5] . В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение о том, что сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм [6] .
Последовательность (x0, x1, x2, …) имеет предел, равный x , тогда и только тогда, когда величина | x − x n | <displaystyle left|x-x_
ight|> бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел [7] :
0.999 … = lim n → ∞ 0. 99 … 9 ⏟ n = lim n → ∞ ∑ k = 1 n 9 10 k = lim n → ∞ ( 1 − 1 10 n ) = 1 − lim n → ∞ 1 10 n = 1. <displaystyle 0.999ldots =lim _0.underbrace <99ldots 9>_
ight)=1-lim _<frac <1><10^
Последнее преобразование ( lim n → ∞ 1 10 n = 0 <displaystyle lim _<frac <1><10^) выполняется на основании того, что вещественные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.
Применение [ править | править код ]
Равенство находит применение, например, в элементарной теории чисел. В 1802 году H. Goodwin опубликовал наблюдение, обнаруженное им при делении чисел на простые числа. Например:
- 1 ⁄7 = 0, 142 857 142 857 … и
142 + 857 = 999;
- 1 ⁄73 = 0, 0136 9863 0136 9863 … и
0136 + 9863 = 9999.
Миди (M. E. Midy) в 1836 году обобщил данные наблюдения до теоремы Миди.
В популярной культуре [ править | править код ]
Автор новостной колонки «The Straight Dope» доказывает равенство 1 = 0,999… с помощью дроби 1 ⁄3 и пределов, говоря о непонимании:
Низший примат в нас упирается, говоря: ,999
на самом деле представляет не число, а процесс. Чтобы найти число мы должны остановить этот процесс. И в этот момент равенство ,999
= 1 просто разваливается.
Вопрос о равенстве 1 = 0,999… стал такой популярной темой в первые семь лет форумов «Battle.net», что компания «Blizzard Entertainment» выпустила «пресс-релиз» на День дураков 2004 года:
Мы очень рады закрыть книгу на этой теме раз и навсегда. Мы были свидетелями страдания и беспокойства насчёт того, ,999
равняется 1 или же нет, и мы с гордостью представляем следующее доказательство, решаюшее эту проблему для наших покупателей [9] .
Далее следуют доказательства, основанные на пределах и умножении на число 10.
Существуют дроби, у которых в дробной части некоторые цифры бесконечно повторяются. Выглядят эти дроби следующим образом:
Дроби такого вида называют периодическими. В данном уроке мы попробуем разобраться, что это за дроби и как с ними работать.
Получаем периодическую дробь
Попробуем разделить 1 на 3. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Этот момент подробно описан в уроке действия с десятичными дробями, в теме деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.
Итак, делим 1 на 3
Видно, что мы постоянно получаем остаток 1, далее приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется вновь и вновь. В результате в дробной части каждый раз получается цифра 3. Деление 1 на 3 будет выполняться бесконечно, поэтому разýмнее будет остановиться на достигнутом.
Такие дроби называют периодическими, поскольку у них присутствует период цифр, который бесконечно повторяется. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять из одной как в нашем примере.
В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 это цифра 3. Обычно такие дроби записывают сокращённо. Сначала записывают цéлую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).
В нашем примере повторяется цифра 3, она является периодом в дроби 0,33333. Поэтому сокращённая запись будет выглядеть так:
Читается как «ноль целых и три в периоде»
Пример 2. Разделить 5 на 11
Это тоже периодическая дробь. Период данной дроби это цифры 4 и 5, эти цифры повторяются бесконечно. Сокращённая запись будет выглядеть так:
Читается как «ноль целых и сорок пять в периоде»
Пример 3. Разделить 15 на 13
Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно из цифр 153846. Для наглядности период отделён синей линией. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:
Читается как: «одна целая сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».
Пример 4. Разделить 471 на 900
В этом примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:
Читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».
Виды периодических дробей
Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смéшанные.
Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:
Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.
Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смéшанной. Например, следующие периодические дроби являются смéшанными:
Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.
Избавляемся от хвоста
Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нýжного разряда.
Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:
Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.
Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33
Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.
Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:
Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317
Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь
Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для общего развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.
Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, то такую дробь называют чистой.
Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.
В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.
Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби.
Итак, записываем в числителе период дроби 0, (3) то есть тройку:
А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).
В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:
Полученную дробь 
можно сократить на 3, тогда получим следующее:
Получили обыкновенную дробь 
.
Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается
Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.
Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:
А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).
В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:
Полученную дробь 
можно сократить эту дробь на 9, тогда получим следующее:
Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается 
Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь
Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.
В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.
Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.
Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:
Итак, записываем в числителе разность:
А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)
В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:
Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.
В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:
Получили выражение, которое вычисляется легко:
Получили ответ 
Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается
Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь
Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:
Итак, записываем в числителе разность:
А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)
В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:
Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.
В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагаются две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:
Получили выражение, которое вычисляется легко:
Получили ответ 
Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
21 thoughts on “Периодические дроби”
Когда же следующие уроки? Уже что-то долго ничего нету
Большое спасибо за урок! Откровенно говоря…эту тему не помню вообще…Будто ее и не было в школе О__о Ну или я ее проболела… (Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь)
Вы бы хоть номер кошелька написали. А то столько трудились и никакой отдачи. С такими уроками никакой экзамен не страшен.
Спасибо большое Тэла, за столь добрый отзыв 😉
Если люди получают пользу от этих уроков — это уже отдача)
Огромное Вам спасибо за уроки! Всё объясняете доступно и наглядно! На ваших уроках готовлюсь поступать на ФИТ на программиста. Хорошо бы еще алгебру выложили.)
Вы не могли бы объяснить логику алгоритма перевода периодической дроби в обычную?
Зачем в знаменателе ставятся девятки — заместно, например, округления числа, подставляемого в числитель, до последней цифры периода, и постановки степени 10 в знаменатель? Зачем, при переводе смешанной периодической дроби, производится соотв. вычитание и чем объясняется подстановка нулей и единиц в зависимости от принадлежности цифры к периоду??…
Спасибо большое за урок 🙂 Скажите пожалуйсто при округлении(когда избавляемся от хвоста) откуда знать до каких разряд надо округлять?
Вот и здесь последняя задача говорит округлить до разряда сотых,а почему не до десятых(например)?
зависит от задачи, которую решаете. Если в задаче сказано округлять до десятых, значит округляете до десятых. Если сказано округлять до сотых — округляете до сотых
Спасибо за ответ . Я даже не знаю как вас зовут,но уверен вы очень хороший человек,раз вы уделяете время для других. Кстати я советую друзья посешать этот сайт,как тут нигде не обясняют.
Ответ
Проверено экспертом
существует два способа перевода из периодической дроби в обыкновенную:
1) надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода и записать эту разность в числитель, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать
столько нулей, скока цифр между запятой и первым периодом: 0,11(6)
а)Н айдем период дроби, т.е. подсчитаем, сколько цифр находится в периодической части. К примеру, это будет число k.
б)Найдем значение выражения X · 10 k
в)Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь.
г)В полученном уравнении найти X . Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.
